夏之星系

怎样证明“把全部数字加起来，就知道能否被三整除”这一篇，拖稿了很多天，这里就补上续集吧。

随便给个数字，1234567，把全部数字加起来，1+2+3+4+5+6+7 = 28，这个数字无法被3整除，会剩下1，所以1234567也无法被三整除，1234567 / 3 = 411522.333，的确会剩下 1。

我开始思考，首先，把全部的数字加起来这个步骤，很明显地表示，数字的前后并不会影响结果。1234567 或 7654321，都是1+2+3+4+5+6+7，加起来的结果，也是 28，同样无法被三整除。

所以我先得到一个关键：数字的前后不会影响结果。

那就很有意思了。这个公式既然是成立的，那么很明显，1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果，应该都是一样的。而 2000 和 20000 和 200000 被三整除的结果，也应该是一样的。为什么呢？

我从这一点进一步思考。我在心中默默计算，发现：

1000 被三整除，会剩下 1
10000 被三整除，会剩下 1
100000 被三整除，会剩下 1

2000 被三整除，会剩下 2
20000 被三整除，会剩下 2
200000 被三整除，会剩下 2

似乎有些规律！

1000 被三整除，会剩下 1
2000 被三整除，会剩下 2
3000 被三整除，会剩下 3
4000 被三整除，会剩下 4
5000 被三整除，会剩下 5
……
……

这里面，似乎发现了两个规律。

第一，一个数字不管后面有多少零，被三整除的结果都是一样的。1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果都是 1，2000 和 20000 和 200000 被三整除的结果都是 2。

第二，因为一个数字不管后面有多少个零，被三整除的结果都是一样的，那么 1000 被三整除的余数就是 1，那么

2000 = 1000 x 2 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 2 = 2
3000 = 1000 x 3 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 3 = 3
……
……
9000 = 1000 x 9 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 9 = 9

到此，已经接近解答了。

不管多长的数字，因为一个数字不管后面有多少个零，被三整除的结果都是一样的，所以我们可以把该数字极大地简化。既然 1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果都是一样，那么1234567 和 7654321 和 1357246 也都只是 1+2+3+4+5+6+7 的组合。

既然只是 1+2+3+4+5+6+7，那么就是 28，也就是无法被三整除，余数是一。

可是，规律一只是经验法则，我并没有真正地证明它。为什么一个零不管后面有多少零，被三整除的结果都是一样的？

这就有点难了。我想了一会儿，嗯，想到了。

1000 的余数是 1
2000 的余数是 2
3000 的余数是 3
……
……
9000 的余数是 9

OK，这是第二条规律。上面已经说。我就想：为什么 2000 的余数刚好是 1000 的余数的一倍呢？换言之，为什么第二条规律成立呢？

答案是：

1000 =  999 + 1
2000 = 1998 + 2
3000 = 2997 + 3
4000 = 3996 + 4

我们可以简化成

1000 = ( 999 x 1 ) + 1
2000 = ( 999 x 2 ) + 2
3000 = ( 999 x 3 ) + 3
4000 = ( 999 x 4 ) + 4

不管一个数字后面有多少个零，上表都能够成立：

1000000 = ( 999999 x 1 ) + 1
2000000 = ( 999999 x 2 ) + 2
3000000 = ( 999999 x 3 ) + 3
4000000 = ( 999999 x 4 ) + 4

所以，我们便能够证实，不管 1 后面有多少个零，它的余数都必然是 1，不管是 1000 或 10000 或 100000，结果都一样。因为：

1000 = 999 + 1
10000 = 9999 + 1
100000 = 99999 + 1
……
……

这个规律，可以应用到无限大的长度。不管有多少零，我都可以放上同样长度的 999999……9999。最后剩下的余数，还是 1。

而 9999……9999 不论有多少个 9，它都可以被三整除。

既然一个数字不管后面有多少个零，它的余数都必然是 1，那么所有数字都可以被简化成多少个位数。而因为 1 的数字的余数就是 1，2的数字余数就是 2，那么把全部数字加起来，就知道能否被三整除。

这是个小窍门，但是有些数字，的确需要这个小窍门。

普通计算机只有八个或九个位元，科学计算机有十二个位元，只要超过这个长度，就无法计算余数的问题。

电脑程式如果特别编写过，可以用字串代表数字，那么记忆体多长，电脑就可以计算多长的数字。这对大部分情况都是够用了。只是如果输入指数天梯，那么还是可以超过电脑的记忆体长度的。

当然，一个指数天梯，有什么理由或情况，需要去算它的余数呢？那就和本题目无关了。