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怎樣快速計算一個數字能否被三整除（二）
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2007/02/12 03:48 | by haryewkun ]
2007/02/12 03:48 | by haryewkun ]
怎样证明“把全部数字加起来，就知道能否被三整除”这一篇，拖稿了很多天，这里就补上续集吧。
随便给个数字，1234567，把全部数字加起来，1+2+3+4+5+6+7 = 28，这个数字无法被3整除，会剩下1，所以1234567也无法被三整除，1234567 / 3 = 411522.333，的确会剩下 1。
我开始思考，首先，把全部的数字加起来这个步骤，很明显地表示，数字的前后并不会影响结果。1234567 或 7654321，都是1+2+3+4+5+6+7，加起来的结果，也是 28，同样无法被三整除。
所以我先得到一个关键：数字的前后不会影响结果。
那就很有意思了。这个公式既然是成立的，那么很明显，1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果，应该都是一样的。而 2000 和 20000 和 200000 被三整除的结果，也应该是一样的。为什么呢？
我从这一点进一步思考。我在心中默默计算，发现：
1000 被三整除，会剩下 1
10000 被三整除，会剩下 1
100000 被三整除，会剩下 1
2000 被三整除，会剩下 2
20000 被三整除，会剩下 2
200000 被三整除，会剩下 2
似乎有些规律！
1000 被三整除，会剩下 1
2000 被三整除，会剩下 2
3000 被三整除，会剩下 3
4000 被三整除，会剩下 4
5000 被三整除，会剩下 5
……
……
这里面，似乎发现了两个规律。
第一，一个数字不管后面有多少零，被三整除的结果都是一样的。1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果都是 1，2000 和 20000 和 200000 被三整除的结果都是 2。
第二，因为一个数字不管后面有多少个零，被三整除的结果都是一样的，那么 1000 被三整除的余数就是 1，那么
2000 = 1000 x 2 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 2 = 2
3000 = 1000 x 3 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 3 = 3
……
……
9000 = 1000 x 9 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 9 = 9
到此，已经接近解答了。
不管多长的数字，因为一个数字不管后面有多少个零，被三整除的结果都是一样的，所以我们可以把该数字极大地简化。既然 1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果都是一样，那么1234567 和 7654321 和 1357246 也都只是 1+2+3+4+5+6+7 的组合。
既然只是 1+2+3+4+5+6+7，那么就是 28，也就是无法被三整除，余数是一。
可是，规律一只是经验法则，我并没有真正地证明它。为什么一个零不管后面有多少零，被三整除的结果都是一样的？
这就有点难了。我想了一会儿，嗯，想到了。
1000 的余数是 1
2000 的余数是 2
3000 的余数是 3
……
……
9000 的余数是 9
OK，这是第二条规律。上面已经说。我就想：为什么 2000 的余数刚好是 1000 的余数的一倍呢？换言之，为什么第二条规律成立呢？
答案是：
1000 = 999 + 1
2000 = 1998 + 2
3000 = 2997 + 3
4000 = 3996 + 4
我们可以简化成
1000 = ( 999 x 1 ) + 1
2000 = ( 999 x 2 ) + 2
3000 = ( 999 x 3 ) + 3
4000 = ( 999 x 4 ) + 4
不管一个数字后面有多少个零，上表都能够成立：
1000000 = ( 999999 x 1 ) + 1
2000000 = ( 999999 x 2 ) + 2
3000000 = ( 999999 x 3 ) + 3
4000000 = ( 999999 x 4 ) + 4
所以，我们便能够证实，不管 1 后面有多少个零，它的余数都必然是 1，不管是 1000 或 10000 或 100000，结果都一样。因为：
1000 = 999 + 1
10000 = 9999 + 1
100000 = 99999 + 1
……
……
这个规律，可以应用到无限大的长度。不管有多少零，我都可以放上同样长度的 999999……9999。最后剩下的余数，还是 1。
而 9999……9999 不论有多少个 9，它都可以被三整除。
既然一个数字不管后面有多少个零，它的余数都必然是 1，那么所有数字都可以被简化成多少个位数。而因为 1 的数字的余数就是 1，2的数字余数就是 2，那么把全部数字加起来，就知道能否被三整除。
这是个小窍门，但是有些数字，的确需要这个小窍门。
普通计算机只有八个或九个位元，科学计算机有十二个位元，只要超过这个长度，就无法计算余数的问题。
电脑程式如果特别编写过，可以用字串代表数字，那么记忆体多长，电脑就可以计算多长的数字。这对大部分情况都是够用了。只是如果输入指数天梯，那么还是可以超过电脑的记忆体长度的。
当然，一个指数天梯，有什么理由或情况，需要去算它的余数呢？那就和本题目无关了。
随便给个数字，1234567，把全部数字加起来，1+2+3+4+5+6+7 = 28，这个数字无法被3整除，会剩下1，所以1234567也无法被三整除，1234567 / 3 = 411522.333，的确会剩下 1。
我开始思考，首先，把全部的数字加起来这个步骤，很明显地表示，数字的前后并不会影响结果。1234567 或 7654321，都是1+2+3+4+5+6+7，加起来的结果，也是 28，同样无法被三整除。
所以我先得到一个关键：数字的前后不会影响结果。
那就很有意思了。这个公式既然是成立的，那么很明显，1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果，应该都是一样的。而 2000 和 20000 和 200000 被三整除的结果，也应该是一样的。为什么呢？
我从这一点进一步思考。我在心中默默计算，发现：
1000 被三整除，会剩下 1
10000 被三整除，会剩下 1
100000 被三整除，会剩下 1
2000 被三整除，会剩下 2
20000 被三整除，会剩下 2
200000 被三整除，会剩下 2
似乎有些规律！
1000 被三整除，会剩下 1
2000 被三整除，会剩下 2
3000 被三整除，会剩下 3
4000 被三整除，会剩下 4
5000 被三整除，会剩下 5
……
……
这里面，似乎发现了两个规律。
第一，一个数字不管后面有多少零，被三整除的结果都是一样的。1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果都是 1，2000 和 20000 和 200000 被三整除的结果都是 2。
第二，因为一个数字不管后面有多少个零，被三整除的结果都是一样的，那么 1000 被三整除的余数就是 1，那么
2000 = 1000 x 2 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 2 = 2
3000 = 1000 x 3 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 3 = 3
……
……
9000 = 1000 x 9 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 9 = 9
到此，已经接近解答了。
不管多长的数字，因为一个数字不管后面有多少个零，被三整除的结果都是一样的，所以我们可以把该数字极大地简化。既然 1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果都是一样，那么1234567 和 7654321 和 1357246 也都只是 1+2+3+4+5+6+7 的组合。
既然只是 1+2+3+4+5+6+7，那么就是 28，也就是无法被三整除，余数是一。
可是，规律一只是经验法则，我并没有真正地证明它。为什么一个零不管后面有多少零，被三整除的结果都是一样的？
这就有点难了。我想了一会儿，嗯，想到了。
1000 的余数是 1
2000 的余数是 2
3000 的余数是 3
……
……
9000 的余数是 9
OK，这是第二条规律。上面已经说。我就想：为什么 2000 的余数刚好是 1000 的余数的一倍呢？换言之，为什么第二条规律成立呢？
答案是：
1000 = 999 + 1
2000 = 1998 + 2
3000 = 2997 + 3
4000 = 3996 + 4
我们可以简化成
1000 = ( 999 x 1 ) + 1
2000 = ( 999 x 2 ) + 2
3000 = ( 999 x 3 ) + 3
4000 = ( 999 x 4 ) + 4
不管一个数字后面有多少个零，上表都能够成立：
1000000 = ( 999999 x 1 ) + 1
2000000 = ( 999999 x 2 ) + 2
3000000 = ( 999999 x 3 ) + 3
4000000 = ( 999999 x 4 ) + 4
所以，我们便能够证实，不管 1 后面有多少个零，它的余数都必然是 1，不管是 1000 或 10000 或 100000，结果都一样。因为：
1000 = 999 + 1
10000 = 9999 + 1
100000 = 99999 + 1
……
……
这个规律，可以应用到无限大的长度。不管有多少零，我都可以放上同样长度的 999999……9999。最后剩下的余数，还是 1。
而 9999……9999 不论有多少个 9，它都可以被三整除。
既然一个数字不管后面有多少个零，它的余数都必然是 1，那么所有数字都可以被简化成多少个位数。而因为 1 的数字的余数就是 1，2的数字余数就是 2，那么把全部数字加起来，就知道能否被三整除。
这是个小窍门，但是有些数字，的确需要这个小窍门。
普通计算机只有八个或九个位元，科学计算机有十二个位元，只要超过这个长度，就无法计算余数的问题。
电脑程式如果特别编写过，可以用字串代表数字，那么记忆体多长，电脑就可以计算多长的数字。这对大部分情况都是够用了。只是如果输入指数天梯，那么还是可以超过电脑的记忆体长度的。
当然，一个指数天梯，有什么理由或情况，需要去算它的余数呢？那就和本题目无关了。
怎樣快速計算一個數字能否被三整除
[ 2007/02/06 02:54 | by haryewkun ]
2007/02/06 02:54 | by haryewkun ]
小時候，大約二年級的時候，我就從書中讀過一個數學上的小竅門：怎樣快速計算一個數字，是否能夠被三整除。
比方説：123456789 這個數字，是否能夠被三整除？
照正常的方法，我們必須慢慢去除，也就是 123456789 / 3 = 41152263，答案是整個數字可以被三整除。
毫無疑問，這個方法很費時，即使有計算機，我要是給你一個二十位數的數字，一樣算不了。因爲計算機能夠儲存的位元是有限的。所以，這個時候，就要用小竅門。
再來一次：123456789 這個數字，是否能夠被三整除？
小竅門的做法是這樣，把所有數字加起來：1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，得出來的數目如果能夠被三整除，那麽原本的數目就可以被三整除。很明顯 45 可以被三整除，所以 123456789 也可以被三整除。
就是這樣簡單。
隨便再來一題，789456 可以被三整除嗎？
7+8+9+4+5+6 = 39，是的，這個數字可以被三整除。
如果還不明白，就再來一題，20070206 可以被三整除嗎？
2+0+0+7+0+2+0+6 = 17，用三去除會剩下 2，無法被三整除。
證明：20070206 / 3 = 6690068.666666 ，所以的確會只剩下 2。
（如果看不懂的話請留言）
這小竅門我在很小的時候就看過了，而這不是這篇文章的重點。重點是，前一陣子，我躺着胡思亂想的時候，忽然間想到了一個疑問。爲什麽把全部數字加起來，就能夠知道是否可以被三整除？它的原因何在？
當然，這是比較白話的説法。比較正式的説法，就是說這個小竅門，是否可以在數學上被證明？
比方説：123456789 這個數字，是否能夠被三整除？
照正常的方法，我們必須慢慢去除，也就是 123456789 / 3 = 41152263，答案是整個數字可以被三整除。
毫無疑問，這個方法很費時，即使有計算機，我要是給你一個二十位數的數字，一樣算不了。因爲計算機能夠儲存的位元是有限的。所以，這個時候，就要用小竅門。
再來一次：123456789 這個數字，是否能夠被三整除？
小竅門的做法是這樣，把所有數字加起來：1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，得出來的數目如果能夠被三整除，那麽原本的數目就可以被三整除。很明顯 45 可以被三整除，所以 123456789 也可以被三整除。
就是這樣簡單。
隨便再來一題，789456 可以被三整除嗎？
7+8+9+4+5+6 = 39，是的，這個數字可以被三整除。
如果還不明白，就再來一題，20070206 可以被三整除嗎？
2+0+0+7+0+2+0+6 = 17，用三去除會剩下 2，無法被三整除。
證明：20070206 / 3 = 6690068.666666 ，所以的確會只剩下 2。
（如果看不懂的話請留言）
這小竅門我在很小的時候就看過了，而這不是這篇文章的重點。重點是，前一陣子，我躺着胡思亂想的時候，忽然間想到了一個疑問。爲什麽把全部數字加起來，就能夠知道是否可以被三整除？它的原因何在？
當然，這是比較白話的説法。比較正式的説法，就是說這個小竅門，是否可以在數學上被證明？
